2017年6月1日

日記

ベッセル関数の微分公式や漸化式をチラホラ証明していってるのだが、調和振動子(エルミート多項式)での昇降演算子みたいなのがあるので生成・消滅演算子みたいな手法で対応するシュレディンガー方程式(2次元中心力ポテンシャル系の動径方向の方程式)って解けるのかなぁ。 まぁできたとしても調和振動子みたいにエネルギー準位が等間隔にならなくて、大して便利でないみたいなことなんじゃないかとは思うけど。 そいや、ハイゼンベルク方程式って調和振動子以外を解いた記憶がないのだけど、2次元中心力ポテンシャル系とかも解けるハズだよな。

ベッセル関数の公式、パラメータが整数なら結構簡単に導けそうだけど、球ベッセル関数とか考えるとそうできない悩ましさがあってモヤモヤ。 整数なら二項係数の計算でできそうな話が、実数だとベータ関数とか持ち出してこないといけないような状況。 今さらながら、ガンマ関数とベータ関数のよくみる関係(昔に自分で証明した記事あったな『ガンマ関数とベータ関数のよくある関係 - 倭算数理研究所』)

  { \displaystyle\begin{align*}
  B(x,\,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\end{align*}}

からするに、階乗を実数に拡張したのがガンマ関数なら、二項係数(の逆数)を実数に拡張したのがベータ関数、みたいな関係なのね。 微妙にズレがあるけど。

解析入門 ?(基礎数学2)

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